Jméno obce bylo odvozeno dle březových porostů. Někde v místech dnešního zámku stávala tvrz, pravděpodobně obehnána vodním příkopem. Další dominantou náměstí je farní kostel sv. Václava, vybudovaný roku 1718 hrabětem Janem Josefem z Bubna.
Mezi významné archeologické památky městyse patří zbytky benediktinského kláštera na Ostrově, kostel sv. Kiliána z roku 1352, fara, kaple sv. Jana Nepomuckého a statek v místní části Sázava. V centru městečka stojí novobarokní kaple Panny Marie.
Obec Strážný je typickou příhraniční obcí, snažící se v co největší míře využívat výhodné polohy těsně za frekventovaným hraničním přechodem do sousedního Německa.
Obec má název zřejmě podle místa, které bylo obtékané vodou řeky Oslavy a Bohdalovského potoka. Leží v nadmořské výšce 530 m.
První písemná zmínka o obci pochází z roku 1274. 29. října 1869 byla císařem Františkem Josefem I. povýšena na městys. V roce 1274 se poprve uvádí vladycké sídlo Jeníka z Borčic.
